Analiza matematyczna dla informatyków

Technologie informatyczne

I stopień

Celem przedmiotu jest zapoznanie z podstawowymi narzędziami analizy matematycznej (zbieżność ciągu i szeregu, ciągłość funkcji, pochodna funkcji jednej zmiennej i całka). Ponieważ różne funkcje służą modelowaniu

zjawisk świata rzeczywistego więc umiejętność badania funkcji należy do niezbędnych narzędzi każdej osoby pragnącej powiedzieć coś o świecie metodami matematycznymi.

I rok

nie

Matematyka nauczana w szkole średniej.

Wymienione w literaturze podręczniki i zbiory zadań. Materiały przesłane na profil zespółu w MS Teams

Wykład (30h.) , ćwiczenia (30h.) Analiza i rozwiązywanie problemów. Praca własna z literaturą.

- Praca własna studenta -Analiza wykładu, zadań rozwiązanych na ćwiczeniach w celu zrozumienia materiału i samodzielne rozwiązywanie zadań: 90h

- Godziny zajęć z nauczycielem (wg planu studiów): 60 h

Punkty ECTS: 6

- T01: Cele nauczania analizy dla informatyków. Modele matematyczne i pojęcie funkcji. Liczby naturalne, całkowite i wymierne – potrzeba liczb niewymiernych. · Aksjomaty liczb rzeczywistych i gęstość (3h wyk/ćw, E01),

- T02: Funkcje elementarne (wykładnicza, logarytmiczna, wymierna, trygonometryczne, kołowe, hiperboliczne). (1h wyk/ćw, E02),

- T03: Definicja liczby zespolonej, działań arytmetycznych, części rzeczywistej i urojonej, jednostki urojonej i liczby sprzężonej. Interpretacja geometryczna liczb zespolonych. Postać trygonometryczna (2h wyk/ćw, E03),

- T04: Definicja przestrzeni metrycznej i przykłady. Kula, punkt skupienia zbioru, zbiór otwarty i domknięty. Pojęcie zbioru zwartego i definicja za pomocą punktów skupienia. Zwartość kostki i wnioski. (2h wyk/Ćw, E04),

- T05: Pojęcie ciągu. · Pojęcie ciągu zbieżnego i podstawowe własności granic (własności arytmetyczne i porządkowe granic). Twierdzenie o trzech ciągach (2h wyk/ćw, E05),

- T06: Naturalne przykłady szeregów i pojęcie szeregu (szereg geometryczny, reprezentacja dziesiętna liczby rzeczywistej). Pojęcie szeregu. Warunek Cauchy’ego zbieżności i zbieganie do zera wyrazu (2h wyk/ćw E06),

- T07: Liczba e jako suma szeregu i jako granica ciągu. Liczba e jako granica funkcji. (1h wyk/ćw, E07),

- T08: Pojęcie funkcji ciągłej. Ciągłość funkcji elementarnych. Ciągłość funkcji złożonej i własności arytmetyczne (1h wyk/ćw, E08),

- T09: Funkcje ciągłe na zbiorach zwartych: osiąganie kresów i ciągłość funkcji odwrotnej. Własność Darboux na przedziałach i ścisła monotoniczność bijekcji rzeczywistej. Jednostajna ciągłość i tw.(2h wyk/ćw, E09),

- T10: Pojęcie prędkości. · Pochodna i przyrost funkcji, ilorazy różnicowe. Sieczna i styczna, przybliżanie lokalne funkcją liniową/afiniczną. Ciągłość funkcji różniczkowalnej. Różniczkowanie funkcji. (2h wyk/ćw, E10),

- T11: Styczna do krzywej zadanej parametrycznie. Twierdzenie Fermata. Twierdzenie. Lagrange’a o wartości średniej i jego wnioski (funkcje o pochodnej zerowej, funkcje o pochodnej niezmieniającej znaku) (2h wyk/ćw, E11),

- T12: Reguła de l’Hôpitala. (1h wyk/ćw, E12),

- T13: Pochodne wyższych rzędów i pojęcie przyspieszenia. Przybliżanie lokalne funkcji wielomianami i wzór Taylora z resztą Peano, Cauchy’ego i Lagrange’a. Zastosowania wzoru Taylora (3h wyk/ćw, E13),

- T14: Co to jest pole · Sumy górne i dolne oraz całki górna i dolna. · Definicja funkcji całkowalnej i całki Riemanna , własności całek. · Całkowalność funkcji ciągłej, monotonicznej, mającej skończoną liczbę punktów nieciągłości) (1h wyk/ćw, E14),

- T15: Wzór Newtona-Leibniza i funkcja górnej granicy całkowania. Funkcje pierwotne funkcji elementarnych. Funkcja pierwotna i dowód wzoru Newtona-Leibniza. (1h wyk/ćw, E15),

- T16: Podstawowe metody całkowania (przez części, podstawienie). Metody całkowania całek oznaczonych (przez części, podstawienie) – przykłady na ćwiczeniach. · Uwagi o algorytmie całkowania funkcji wymiernych (2h wyk/ćw, E16),

- T17: Zastosowania całek oznaczonych (długość łuku, pole figury, objętość bryły obrotowej, praca). · Uwagi o całce niewłaściwej i elementarne przykłady. (2h wyk/ćw, E17).

Podręczniki:

[1] A. Sołtysiak, Analiza matematyczna, cz. 1, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań, 1995.

[2] H. i J. Musielakowie, Analiza matematyczna, t.1, cz. 1, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań, 1993.

[3] W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1998.

[4] D. Estep, Practical analysis in one variable, Springer, New York 2002.

[5] H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, B.G. Teubner, Stuttgart 1986.

[6] R. Plato, Concise Numerical Mathematics, AMS, Providence 2003

[7] E.W. Swokowski, Calculus with analytic geometry, Prindle, Weber, Schmidt, Boston 1979.

Zbiory zadań:

[8] M. Bryński, N. Dróbka, K. Szymański, Matematyka dla roku zerowego, WNT, Warszawa 2007.

[9] J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa 1994.

[10] B.P. Demidowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, t.1, 2 i 3, Naukowa Książka, Lublin 1992 (t.1) i 1993 (t.2 i 3).

[11] G.N. Berman, Zbiór zadań z analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1975.

[12] W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, t.1 i 2, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1975.

- E01: Wie co to są liczby rzeczywiste i kresy zbiorów - umie wyznaczać kresy prostych zbiorów liczb rzeczywistych (KPIN1_K01, KPIN1_K04, KPIN1_W01),

- E02: Wie co to są funkcje elementarne (KPIN1_K01, KPIN1_U01),

- E03: Wie co to są liczby zespolone, zna podstawowe fakty ich dotyczące i umie na nich rachować (KPIN1_K01, KPIN1_U01),

- E04: Rozumie pojęcie punktu skupienia zbioru i umie wyznaczyć punktu skupienia dla prostych zbiorów (KPIN1_K05, KPIN1_W01),

- E05: Rozumie pojęcie granicy ciągu i umie wyznaczyć granice prostych ciągów rzeczywistych (KPIN1_K01, KPIN1_K05, KPIN1_U01, KPIN1_W01),

- E06: Rozumie pojęcie sumy szeregu i zna podstawowe metody badania

zbieżności szeregów - umie wyznaczyć sumę szeregu geometrycznego (KPIN1_K01, KPIN1_K04, KPIN1_K05, KPIN1_U01, KPIN1_W01),

- E07: Wie co to jest liczba e (KPIN1_K01, KPIN1_K05, KPIN1_U01, KPIN1_W01),

- E08: Rozumie pojęcia granicy funkcji i jej ciągłości, umie wyznaczać proste granice funkcji i zna podstawowe przykłady funkcji ciągłych (KPIN1_K01, KPIN1_K04, KPIN1_K05, KPIN1_U01, KPIN1_W01),

- E09: Zna podstawowe własności funkcji ciągłych na przedziałach (KPIN1_U01),

- E10: Rozumie pojęcie pochodnej funkcji jednej zmiennej i zna

podstawowe własności pochodnej funkcji jednej zmiennej rzeczywistej oraz umie takie pochodne wyliczać (KPIN1_K01, KPIN1_K04, KPIN1_K05, KPIN1_U01, KPIN1_W01),

- E11: Umie zastosować pochodną do badania monotoniczności funkcji i znajdywania jej ekstremów (KPIN1_K01, KPIN1_K05, KPIN1_U01),

- E12: Umie wykorzystać pojęcie pochodnej do znajdywania granic funkcji (KPIN1_K01, KPIN1_U01, KPIN1_W01),

- E13: Zna wzór Taylora i potrafi go wykorzystać do lokalnego przybliżenie funkcji wielomianami (KPIN1_K01, KPIN1_U01, KPIN1_W01),

- E14: Zna pojęcie całki Riemanna i rozumie jej znaczenie do obliczania pola figur (KPIN1_K01, KPIN1_K04, KPIN1_K05, KPIN1_U01, KPIN1_W01),

- E15: Zna związek między całką a pochodną i umie go wykorzystać do obliczania całek (KPIN1_K01, KPIN1_U01, KPIN1_W01),

-E16: Zna podstawowe metody całkowania (przez części i przez podstawienie) i umie je wykorzystać do obliczenia prostych całek (KPIN1_U01),

- E17: Zna podstawowe zastosowania całek (długość krzywej, objętość

bryły obrotowej, praca itp.) (KPIN1_U01).

- Aktywność na zajęciach

- Kolokwia sprawdzające nabyte umiejętności

- Egzamin końcowy

Kryteria oceny:

- 50%- 60% punktów - ocena dostateczny

- 60%- 70% punktów - ocena dostateczny plus

- 70%- 80% punktów - ocena dobry

- 80%- 90% punktów - ocena dobry plus

- 90%-100% punktów - ocena bardzo dobry

nie dotyczy