Analiza matematyczna 2

1. Całka nieoznaczona

_ Definicja i istnienie funkcji pierwotnej.

_ Całkowanie przez części i przez podstawienie.

_ Wzory rekurencyjne.

_ Obliczanie podstawowych typów całek nieoznaczonych:

– całkowanie funkcji wymiernych;

– całkowanie funkcji niewymiernych, podstawienia Eulera;

– całkowanie funkcji trygonometrycznych.

2. Całka Riemanna

_ Definicja całki Riemanna, kryterium całkowalności.

_ Całkowalność funkcji ciągłej, całkowalność funkcji monotonicznej.

_ Własności całki.

_ Twierdzenie o funkcji górnej granicy całkowania, wzór Newtona-Leibniza.

_ Wzory na całkowanie przez części i przez podstawienie dla całek oznaczonych.

_ Twierdzenia o wartości średniej w rachunku całkowym.

_ Geometryczne zastosowania całek: pole figury, długość łuku, objętość bryły obrotowej.

_ Definicja logarytmu za pomocą całki, funkcja wykładnicza.

3. Całki niewłaściwe

_ Definicja i podstawowe własności całek niewłaściwych.

_ Zbieżność bezwzględna i warunkowa, kryteria: Cauchy’ego, porównawcze i Dirichleta.

_ Całkowe kryterium zbieżności szeregów.

4. Elementy analizy zespolonej

_ Definicja i podstawowe własności liczb zespolonych.

_ Zbieżność w C, ciągi i szeregi o wyrazach zespolonych.

_ Granica i ciągłość funkcji zespolonych.

_ Różniczkowanie i całkowanie funkcji określonych na przedziale i przyjmujących

wartości zespolone.

_ Pochodna funkcji zespolonej i jej podstawowe własności (bez równań Cauchy’ego-

Riemanna).

5. Ciągi i szeregi funkcyjne

_ Zbieżność punktowa i jednostajna. Warunek Cauchy’ego na zbieżność jednostajna.

_Kryterium Weierstrassa.

_ Związki zbieżności jednostajnej z ciągłością, różniczkowaniem i całkowaniem.

_ Przykład funkcji ciągłej na całej prostej, która nie ma pochodnej w żadnym punkcie.

6. Szeregi potęgowe

_ Szereg potęgowy, promień zbieżności, wzór Cauchy’ego-Hadamarda, własności sumy

szeregu potęgowego w przedziale zbieżności (różniczkowanie i całkowanie w

przypadku szeregu o wyrazach rzeczywistych).

_ Rozwijanie funkcji w szereg potęgowy. Rozwinięcia funkcji wykładniczej i funkcji

trygonometrycznych, szereg dwumienny.

_ Przykład funkcji gładkiej, która nie jest analityczna.

_ Zachowanie się sumy szeregu potęgowego na końcach przedziału zbieżności, twierdzenie

Abela.

_ Analityczne definicje funkcji trygonometrycznych, związek pomiędzy funkcja wykładnicza

i funkcjami trygonometrycznymi, wzory Eulera.

7. Szeregi Fouriera

_ Szereg Fouriera, wzory Eulera-Fouriera.

_ Lemat Riemanna-Lebesgue’a.

_ Całka Dirichleta, zasada lokalizacji. Zbieżność punktowa szeregu Fouriera.

_ Zamkniętość układu trygonometrycznego. Nierówność Bessela i identyczność Parsevala.

_ Postać zespolona szeregu Fouriera.

8. Przestrzenie metryczne

_ Definicja i przykłady przestrzeni metrycznych.

_ Przestrzeń euklidesowa n-wymiarowa jako przestrzeń metryczna.

_ Zbiory otwarte i domknięte.

_ Domknięcie, wnętrze i brzeg zbioru.

_ Ciągi zbieżne w przestrzeniach metrycznych. Zbieżność w przestrzeni euklidesowej.

_ Przestrzenie zupełne. Zupełność przestrzeni przestrzeni euklidesowej. Twierdzenie Banacha o kontrakcji .

_ Zbiory zwarte. Zwartość podzbiorów przestrzeni euklidesowej, twierdzenia: Heinego-Borela i

Bolzano-Weierstrassa.

_ Spójność. Charakteryzacja spójnych podzbiorów prostej.

_ Granica funkcji. Granica podwójna a granice iterowane.

_ Ciągłość:

– ciągłość złożenia i ciągłość funkcji odwrotnej;

– własności funkcji ciągłych na zbiorach zwartych;

– ciągłość a spójność, zbiory łukowo spójne, łukowa spójność obszaru w przestrzeni euklidesowej.

_ Przestrzeń funkcji ciągłych na zbiorze zwartym.

9. Całka Riemanna-Stieltjesa

_ Definicja i podstawowe własności całki Riemanna-Stieltjesa.

_ Istnienie całki w przypadku całkowania funkcji ciągłej względem funkcji monotonicznej.