Analiza matematyczna 2

Analiza matematyczna jest jednym z najważniejszych działów matematyki. Przedmiotem jej badań są funkcje, ich własności, ich rodziny i różne działania na nich. Na wykładzie kontynuowane będzie badanie własności funkcji jednej zmiennej. Jedną z najważniejszych operacji na funkcjach, obok różniczkowania, jest całkowanie. W przeciwieństwie do definicji pochodnej, która od XVII w. nie ulegała zmianie, podejście do pojęcia całki ewoluowało poprzez wieki. Zasadniczym celem tego wykładu będzie przedstawienie jednego z najistotniejszych takich podejść mianowicie teorii całki zaproponowanej przez B.Riemanna. Rozpatrywane będą też całki oznaczone i nieznaczone, tak jak rozumieli je Newton i Leibniz. Oprócz całek analizowane będą m.in. ciągi i szeregi funkcyjne, w tym szeregi potęgowe i szeregi Fouriera. Te pierwsze stanowią wstęp do analizy zespolonej, te drugie do analizy harmonicznej. Wykład kończy się omówienie pojęć zbieżności i ciągłości w terminach przestrzeni metrycznych.

1. Całka nieoznaczona

_ Definicja i istnienie funkcji pierwotnej.

_ Całkowanie przez części i przez podstawienie.

_ Wzory rekurencyjne.

_ Obliczanie podstawowych typów całek nieoznaczonych:

– całkowanie funkcji wymiernych;

– całkowanie funkcji niewymiernych, podstawienia Eulera;

– całkowanie funkcji trygonometrycznych.

2. Całka Riemanna

_ Definicja całki Riemanna, kryterium całkowalności.

_ Całkowalność funkcji ciągłej, całkowalność funkcji monotonicznej.

_ Własności całki.

_ Twierdzenie o funkcji górnej granicy całkowania, wzór Newtona-Leibniza.

_ Wzory na całkowanie przez części i przez podstawienie dla całek oznaczonych.

_ Twierdzenia o wartości średniej w rachunku całkowym.

_ Geometryczne zastosowania całek: pole figury, długość łuku, objętość bryły obrotowej.

_ Definicja logarytmu za pomocą całki, funkcja wykładnicza.

3. Całki niewłaściwe

_ Definicja i podstawowe własności całek niewłaściwych.

_ Zbieżność bezwzględna i warunkowa, kryteria: Cauchy’ego, porównawcze i Dirichleta.

_ Całkowe kryterium zbieżności szeregów.

4. Elementy analizy zespolonej

_ Definicja i podstawowe własności liczb zespolonych.

_ Zbieżność w C, ciągi i szeregi o wyrazach zespolonych.

_ Granica i ciągłość funkcji zespolonych.

_ Różniczkowanie i całkowanie funkcji określonych na przedziale i przyjmujących

wartości zespolone.

_ Pochodna funkcji zespolonej i jej podstawowe własności (bez równań Cauchy’ego-

Riemanna).

5. Ciągi i szeregi funkcyjne

_ Zbieżność punktowa i jednostajna. Warunek Cauchy’ego na zbieżność jednostajna.

_Kryterium Weierstrassa.

_ Związki zbieżności jednostajnej z ciągłością, różniczkowaniem i całkowaniem.

_ Przykład funkcji ciągłej na całej prostej, która nie ma pochodnej w żadnym punkcie.

6. Szeregi potęgowe

_ Szereg potęgowy, promień zbieżności, wzór Cauchy’ego-Hadamarda, własności sumy

szeregu potęgowego w przedziale zbieżności (różniczkowanie i całkowanie w

przypadku szeregu o wyrazach rzeczywistych).

_ Rozwijanie funkcji w szereg potęgowy. Rozwinięcia funkcji wykładniczej i funkcji

trygonometrycznych, szereg dwumienny.

_ Przykład funkcji gładkiej, która nie jest analityczna.

_ Zachowanie się sumy szeregu potęgowego na końcach przedziału zbieżności, twierdzenie

Abela.

_ Analityczne definicje funkcji trygonometrycznych, związek pomiędzy funkcja wykładnicza

i funkcjami trygonometrycznymi, wzory Eulera.

7. Szeregi Fouriera

_ Szereg Fouriera, wzory Eulera-Fouriera.

_ Lemat Riemanna-Lebesgue’a.

_ Całka Dirichleta, zasada lokalizacji. Zbieżność punktowa szeregu Fouriera.

_ Zamkniętość układu trygonometrycznego. Nierówność Bessela i identyczność Parsevala.

_ Postać zespolona szeregu Fouriera.

8. Przestrzenie metryczne

_ Definicja i przykłady przestrzeni metrycznych.

_ Przestrzeń euklidesowa n-wymiarowa jako przestrzeń metryczna.

_ Zbiory otwarte i domknięte.

_ Domknięcie, wnętrze i brzeg zbioru.

_ Ciągi zbieżne w przestrzeniach metrycznych. Zbieżność w przestrzeni euklidesowej.

_ Przestrzenie zupełne. Zupełność przestrzeni przestrzeni euklidesowej. Twierdzenie Banacha o kontrakcji .

_ Zbiory zwarte. Zwartość podzbiorów przestrzeni euklidesowej, twierdzenia: Heinego-Borela i

Bolzano-Weierstrassa.

_ Spójność. Charakteryzacja spójnych podzbiorów prostej.

_ Granica funkcji. Granica podwójna a granice iterowane.

_ Ciągłość:

– ciągłość złożenia i ciągłość funkcji odwrotnej;

– własności funkcji ciągłych na zbiorach zwartych;

– ciągłość a spójność, zbiory łukowo spójne, łukowa spójność obszaru w przestrzeni euklidesowej.

_ Przestrzeń funkcji ciągłych na zbiorze zwartym.

9. Całka Riemanna-Stieltjesa

_ Definicja i podstawowe własności całki Riemanna-Stieltjesa.

_ Istnienie całki w przypadku całkowania funkcji ciągłej względem funkcji monotonicznej.

Podręczniki:

[1] R. Engelking, K. Sieklucki, Wstęp do topologii, PWN, Warszawa 1986.

[2] G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 1, 2 i 3 Wydawnictwo Naukowe PWN,

Warszawa 2007.

[3] F. Leja, Funkcje zespolone, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006.

[4] K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej , Wydawnictwo Naukowe

PWN, Warszawa 2008.

[5] H. i J. Musielakowie, Analiza matematyczna, t. I, cz. 1 i 2,Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań

2004 (t. I, cz. 1), 2002 (t. I, cz. 2).

[6] W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej , Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009.

[7] A. Sołtysiak, Analiza matematyczna, Części I i II , Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 2009

(cz. I), 2004 (cz. II).

Zbiory zadań

[1] J. Banas, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej , WNT, Warszawa 2006.

[2] G. N. Berman, Zbiór zadań z analizy matematycznej , Wydawnictwo Pracowni Komputerowej

Jacka Skalmierskiego, Gliwice 1999.

[3] B.P. Demidowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej , t. 2 i 3, Naukowa Książka, Lublin 1993.

[4] J. Długosz, Funkcje zespolone. Teoria, przykłady, zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław

2005.

[5] M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1 , Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza

GiS, Wrocław 2010.

[6] M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2 , Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza

GiS, Wrocław 2010.

[7] N. M. Giunter, R. O. Kuzmin, Zbiór zadań z matematyki wyższej , t. II, PWN Warszawa 1959.

[8] W. J. Kaczor, M. T. Nowak, Zadania z analizy matematycznej , t. 2 i 3, Wydawnictwo Naukowe

PWN, Warszawa 2005 (t. 2) i 2006 (t. 3).

[9] W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, t. 1 i 2, Wydawnictwo Naukowe

PWN, Warszawa 2008.

[10] J. Krzyz, Zbiór zadań z funkcji analitycznych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2005.

[11] J. Rutkowski, Zadania z funkcji analitycznych, UAM, Poznań 1999.