Algebra 2

Wykład jest kontynuacją wykładu Algebra 1. Rozpoczynając od drugiego twierdzenia o izomorfizmie kolejno omawia się z teorię najważniejszych klas grup i pierścieni, a w szczególności grup permutacji, grup rozwiązalnych, grup abelowych wolnych oraz pierścieni noetherowskich i pierścieni Dedekinda.

Ponadto tematyka wykładu obejmuje również teorię podzielności w pierścieniach wielomianów, ciało rozkładu wielomianów oraz domknięcie algebraiczne ciała.

Po wysłuchaniu kursu student powinien znać następujące zagadnienia i umieć je stosować:

Drugie twierdzenie o izomorfizmie dla grup.

Grupy abelowe wolne (zbiory wolnych generatorów, ranga, podgrupy).

Struktura skończenie generowanych grup abelowych.

Grupy symetrycznych (opis dzielników normalnych Sn, prostota An).

Grupy rozwiązalnych (ciągi kompozycyjne, twierdzenie Jordana-Holdera).

Pierścienie noetherowskie (twierdzenie Hilberta o bazie).

Pierścienie Dedekinda (twierdzenie o jednoznacznym rozkładzie ideału na iloczyn ideałów pierwszych).

Teoria podzielności w pierścieniach wielomianów (lemat Gaussa, pierścienie wielomianów z jednoznacznością rozkładu, kryterium Eisensteina).

Ciało rozkładu wielomianu (istnienie i jednoznaczność).

Domknięcie algebraiczne ciała (istnienie i jednoznaczność).

J. Browkin, Wybrane zagadnienia algebry, PWN Warszawa 1970.

J. Browkin, Teoria ciał, PWN Warszawa 1977.

S. Lang, Algebra, PWN Warszawa 1973.