Algebra

Co mają wspólnego liczby pierwsze z wielomianami nierozkładalnymi? Czy grupę dzieli się na podgrupy czy raczej przez podgrupy? Czy ideał maksymalny może być zerowy (i co to znaczy??)? Jak rozwiązać równanie, w którym niewiadoma i współczynniki są funkcjami, a działanie ma niewiele wspólnego z dodawaniem i mnożeniem i nie jest nawet przemienne? Odpowiedzi na te i inne pytania postaram się zawrzeć w tym wykładzie.

Kurs stanowi wprowadzenie w najważniejsze zagadnienia algebry, w teorię grup, pierścieni i ciał.

Nazwa „algebra” pochodzi od arabskiego słowa oznaczającego przenoszenie składnika z jednej strony równania na drugą. Rzeczywiście, do pierwszych odkryć matematycznych zaliczanych obecnie do algebry należały metody rozwiązywania równań. Ta sama metoda może działać dla wielu równań (tego samego typu), np. dla wszystkich równań kwadratowych, wszystkich układów równań liniowych itp. Stąd już tylko krok do rozumowania „na literkach” zamiast „na liczbach”, a zatem do rozumowania abstrakcyjnego.

Określenie „algebra abstrakcyjna” bywa rozumiane opacznie jako coś, co niczego nie oznacza. Przeciwnie, używanie pojęć abstrakcyjnych wynika ze względów praktycznych, np. często mówimy „krzesło” nie precyzując czy chodzi o krzesło z białego plastiku czy o drewniane z poręczami. Skupiamy się na istocie rzeczy. Podobnie jest z abstrakcyjnymi pojęciami algebraicznymi takimi jak „łączność”, „przemienność” czy „grupa”.

Coraz głębsze, ale i ogólniejsze rozumienie pojęcia liczby doprowadziło człowieka do rozważania bardzo różnych konstrukcji o własnościach podobnych do zbiorów liczbowych z działaniami dodawania i mnożenia. Konstrukcje takie nazywamy strukturami algebraicznymi. Zależnie od ich własności nadajemy im bardziej precyzyjne nazwy: grupy, pierścienie, ciała itp. Metody pozwalające np. na rozwiązywanie określonego rodzaju równań albo dokładne opisywanie takiego czy innego rodzaju konstrukcji są często metodami „wielokrotnego użytku”, np. działają dla wszystkich grup, wszystkich ciał itp.

W matematyce rozważa się także struktury znacznie bogatsze od algebraicznych, np. zbiór liczb rzeczywistych jest nie tylko ciałem, ale także zbiorem liniowo uporządkowanym, przestrzenią metryczną zupełną i rozmaitością różniczkową. Podobnie jak teoria mnogości pełni często rolę służebną wobec innych dziedzin matematyki, w których odwołujemy się do zbiorów i funkcji, algebra jest wykorzystywana wszędzie tam, gdzie mamy do czynienia z działaniami.