Multiplikatywna teoria liczb

matematyka

I stopień

III rok

6 punktów

Celem przedmiotu jest omówienie podstawowych zagadnień związanych z rozmieszczeniem liczb pierwszych w zbiorze liczb naturalnych oraz rozkładem liczb naturalnych na czynniki. W tym celu przedstawione zostaną najważniejsze własności funkcji multiplikatywnych i szeregów Dirichleta, które odgrywają centralną rolę we współczesnej multiplikatywnej teorii liczb. Ponadto zostaną omówione podstawowe metody sita oraz liczne przykłady zastosowania analizy matematycznej do badania arytmetyki liczb naturalnych. Przedstawione zagadnienia przybliżą słuchaczom pewne nowe wyniki współczesnej teorii liczb, podstawy pozwalające lepiej zrozumieć istotę najważniejszych hipotez teorii liczb takich jak hipoteza Riemanna czy hipoteza o liczbach bliźniaczych oraz nowoczesne metody, które obecnie są stosowania do badania zagadnień multiplikatywnej teorii liczb.

Celem przedmiotu jest zapoznanie słuchaczy z podstawami multiplikatywnej teorii liczb tj. zagadnieniami związanymi z liczbami pierwszymi, ich rozmieszczeniem w zbiorze liczb naturalnych oraz rozkładem liczb naturalnych na czynniki. Centralnym punktem wykładu będą funkcje multiplikatywne, które są efektywnym narzędziem do badania arytmetyki liczb naturalnych. Przedstawione zostaną różne metody pozwalające uzyskać oszacowania oraz wzory asymptotyczne dotyczące funkcji multiplikatywnych i ich wartości średnich. Omówiony zostanie związek funkcji multiplikatywnych z szeregami Dirichleta oraz płynące z tego związku ważne wyniki dotyczące rozmieszczenia liczb pierwszych. W końcowej części wykładu zostaną przedstawione podstawowe metody sita, których zaawansowane wersje pozwoliły w ostatnich latach uzyskać przełomowe wyniki dotyczące małych odległości między kolejnymi liczbami pierwszymi. Wykład może zostać potraktowany również jako przygotowanie przed kursem z analitycznej teorii liczb, jednak podczas wykładu omówione zostaną jedynie te wyniki, które można uzyskać bez użycia teorii funkcji zespolonych. Wykład przeznaczony jest dla studentów matematyki teoretycznej oraz wymaga znajomości podstawowych zagadnień z algebry i analizy matematycznej oraz podstawowych definicji dotyczących funkcji analitycznych.

1. T.M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag New York, 1976.

2. H.L. Montgomery, R.C. Vaughan, Multiplicative Number Theory I : Classical Theory, Cambridge University Press, 2006.

3. W. Narkiewicz, Teoria liczb, 3 wydanie, Wyd. Nauk. PWN, 2003.

4. W. Narkiewicz, The Development of Prime Number Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2000.

5. M.B. Nathanson, Elementary Methods in Number Theory, Graduate Texts in Mathematics 195, Springer-Verlag New York, 2000.